domingo, 17 de marzo de 2019

Determinante.

Definición de determinante de una matriz cuadrada. Supongamos una matriz cuadrada A (puede repasar la noción de matriz) de orden:
Llamamos determinante de A, det A, al número obtenido al sumar todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los elementos de dicha matriz, de modo que en cada producto figuren un elemento de cada distinta fila y uno de cada distinta columna, a cada producto se le asigna el signo (+) si la permutación de los subíndices de filas es del mismo orden que la permutación de los subíndices de columnas, y signo (-) si son de distinto orden. El alumno puede dar un repaso de la noción de permutación, en caso de necesitarlo. Para el determinante de A, suelen emplearse indistintamente las notaciones: det A, |A|. Pasemos a ver ejemplos: Para una matriz de orden 2, su determinante se calcula: Cada producto tiene que estar formado por un elemento de la primera fila y un elemento de la segunda fila, pero al mismo tiempo tienen que ser un elemento de la primera columna y un elemento de la segunda. Sólo hay dos emparejamientos posibles, los que están arriba indicados. En cuanto al signo de cada producto, si los ordenamos siempre según el orden de las filas (12) nos debemos fijar en el orden de las columnas (los segundos índices) de cada agrupación, nosotros lo hemos indicado debajo entre corchetes. Como el primer producto representa una permutación par su signo es positivo, en cambio en el segundo es impar y es negativo. Determinante de una matriz de orden 3: Sea A una matriz de orden 3.Para expresar |A| hay que considerar todas las permutaciones de (123), son seis. De una manera mnemotécnica podemos recordar que son positivos el producto de los tres elementos de la diagonal principal, y los de los dos "triángulos" en el mismo sentido. Mientras que son negativos los productos de la otra diagonal, y sus respectivos "triángulos".
Propiedades de los determinantes 1.Para cualquier A, se verifica : A = tA 2. Si una matriz A tiene una fila o columna formada por ceros, entonces A = 0 . 3.Si a los elementos de una fila o columna de la matriz A se multiplica (o divide) por un número k, entonces su determinante queda multiplicado (o dividido) por k. 4.Si en una matriz cuadrada se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), su determinante cambia de signo. 5.Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es nulo. 6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es nulo.




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