Aplicaciones de Derivadas.

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Ejemplo:

Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

  

Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

 

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

Evaluando en y´(-0.01) tenemos:

y´(-0.01)= -0.004

Evaluando para x después de cero tenemos:

y´(0.01)= 0.004

 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).

Teorema del Valor Medio:

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y deriva ble en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:

“.

Ejemplo:

(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)

En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para  con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es deriva ble en todo valor real siendo la derivada:

Aplicando el teorema:

Pues f(1)=ln 1=0