Tema para los Segundo de Bachillerato "A" "B" "C"

Sistema de ecuaciones.

En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de dos o más ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones. En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Método de Gauss.

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si: Todos los coeficientes son ceros. Dos filas son iguales. Una fila es proporcional a otra. Una fila es combinación lineal de otras. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones 1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. 2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. 3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado. 4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero. 5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Determinante.

Definición de determinante de una matriz cuadrada. Supongamos una matriz cuadrada A (puede repasar la noción de matriz) de orden:

Llamamos determinante de A, det A, al número obtenido al sumar todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los elementos de dicha matriz, de modo que en cada producto figuren un elemento de cada distinta fila y uno de cada distinta columna, a cada producto se le asigna el signo (+) si la permutación de los subíndices de filas es del mismo orden que la permutación de los subíndices de columnas, y signo (-) si son de distinto orden. El alumno puede dar un repaso de la noción de permutación, en caso de necesitarlo. Para el determinante de A, suelen emplearse indistintamente las notaciones: det A, |A|. Pasemos a ver ejemplos: Para una matriz de orden 2, su determinante se calcula: Cada producto tiene que estar formado por un elemento de la primera fila y un elemento de la segunda fila, pero al mismo tiempo tienen que ser un elemento de la primera columna y un elemento de la segunda. Sólo hay dos emparejamientos posibles, los que están arriba indicados. En cuanto al signo de cada producto, si los ordenamos siempre según el orden de las filas (12) nos debemos fijar en el orden de las columnas (los segundos índices) de cada agrupación, nosotros lo hemos indicado debajo entre corchetes. Como el primer producto representa una permutación par su signo es positivo, en cambio en el segundo es impar y es negativo. Determinante de una matriz de orden 3: Sea A una matriz de orden 3.Para expresar |A| hay que considerar todas las permutaciones de (123), son seis. De una manera mnemotécnica podemos recordar que son positivos el producto de los tres elementos de la diagonal principal, y los de los dos "triángulos" en el mismo sentido. Mientras que son negativos los productos de la otra diagonal, y sus respectivos "triángulos".

Propiedades de los determinantes 1.Para cualquier A, se verifica : A = tA 2. Si una matriz A tiene una fila o columna formada por ceros, entonces A = 0 . 3.Si a los elementos de una fila o columna de la matriz A se multiplica (o divide) por un número k, entonces su determinante queda multiplicado (o dividido) por k. 4.Si en una matriz cuadrada se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), su determinante cambia de signo. 5.Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es nulo. 6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es nulo.

Algebra Matrices

Definiciones básicas: Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A. Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij. Ejemplo: Aquí es una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para ver sus nombres:

Las ecuaciones lineales o de primer grado.

Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión. Resolución de ecuaciones lineales En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º ._Quitar paréntesis. 2º ._Quitar denominadores. 3º ._Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º ._Reducir los términos semejantes. 5º._ Despejar la incógnita. Ejemplos de ecuaciones lineales:

                                                                                                                                                                                                                                                                                            

Derivadas e Integrales.

Reglas de derivación :

-Suma:

-Producto :

-Cociente:

-Regla de la cadena:

-Potencia:

Aplicaciones de Derivadas.

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Ejemplo:

Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

  

Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

 

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

Evaluando en y´(-0.01) tenemos:

y´(-0.01)= -0.004

Evaluando para x después de cero tenemos:

y´(0.01)= 0.004

 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).

Teorema del Valor Medio:

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y deriva ble en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:

“.

Ejemplo:

(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)

En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para  con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es deriva ble en todo valor real siendo la derivada:

Aplicando el teorema:

Pues f(1)=ln 1=0

Calculo de los máximos y mínimos de una función.

Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Máximos y mínimos absolutos

Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.

• El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio.
• El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio.

Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.

Máximos y mínimos relativos

Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio.

Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales.

• La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
  En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo relativo de f si:
  
  
  También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente.
• La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
  En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m. Entonces m es mínimo relativo de f si:
  También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente.
• 
  

Teorema de los valores extremos

Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo.

No se asegura que existan extremos absolutos si se define en un intervalo abierto.

Este teorema confirma la existencia de un máximo absoluto y un mínimo absoluto en una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], pero no define como se calcula. Para calcularlos el procedimiento es el siguiente:

1. Derivar la función, obteniendo f ’(x).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0.
   Supongamos que las raíces de f ’ son {r₁, r₂,…,r_n}.
3. Se calcula la imagen de los extremos del intervalo (f(a) y f(b)). También se calcula la imagen de las raíces ( f(r₁) ,  f(r₂) ,…, f(r_n) ).
4. El máximo y mínimo absolutos de f serán:

Encontrar el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) en el intervalo [-1,5], tal que:

Aplicaremos el procedimiento del teorema de los extremos.

1. Derivamos la función, obteniendo:
2. Hallamos las raíces de la derivada:
3. Las imágenes de los extremos del intervalo y de las dos raíces son:
4. Por lo tanto, el máximo y mínimo absolutos de f serán:
   Se han comparado cuatro imágenes de la función en cuatro puntos, los dos en los que el valor de la derivada es nulo (0, 1) y (3, -12,5) con los correspondientes a los extremos del intervalo (-1, -4,5) y (5, 13,5). Resultado: máximo absoluto en el punto (5, 13,5) y mínimo absoluto en el punto (3, -12,5).

Derivada de una función

La derivada es uno de los conceptos de significado dialéctico en matemáticas. La derivada, en el caso de una función real de una variable real, es el resultado de un límite y representa, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. En la Física, la derivada se puede entender como la velocidad instantánea. Se puede considerar la derivada como la razón de variación de una masa poblacional respecto de la variación del tiempo.

Se considera una secante que pasa por un punto fijo de una curva y pasa por otro punto de la misma curva ( las abscisas están en un intervalo abierto del punto fijo). Consideremos la infinidad de secantes que pasan por el punto fijo y el otro punto de la secante se aproxima a él; la recta secante, en el límite si existe, se convierte en recta tangente a la curva en el punto fijo. Hay un salto cualitativo ( cambio dialéctico) de recta secante a recta tangente.

Cociente incrementar como razón de cambio.

Fundamento

Queremos hallar una herramienta de cálculo que nos permita determinar el ritmo de crecimiento de una función en un punto x = a. 

Desde un punto de vista geométrico, nuestro objetivo es averiguar la inclinación de la curva en el punto A(a, f(a)).

Para ello seguiremos los siguientes pasos:

1.- A partir del punto x = a nos desplazaremos sobre la curva hasta un punto próximo x.

2.- A continuación, para comparar el desplazamiento vertical, esto es, Δy = f(x) — f(a), con el horizontal, Δx = x — a, calcularemos la razón entre ambas cantidades. Este resultado será lo que llamaremos cociente incremental, o tasa de variación. Se suele escribir de diferentes maneras:

Observa en la escena el significado de los elementos del cociente incremental: 

el numerador es la altura de un triángulo rectángulo, y el denominador su base.

Por lo tanto, el cociente incremental será la tangente del ángulo ß de inclinación sobre la horizontal de la recta secante a la curva. Es decir, indicará el valor de la pendiente de dicha recta. (Los puntos de la curva A(a, f(a)) y P(x, f(x)) son los vértices que determinan la hipotenusa de dicho triángulo).

 El cociente incremental es igual a la pendiente de la recta secante. 

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Actividades:

   a) Manteniendo fijo el incremento Δx, y desplazando con el ratón el punto A sobre la curva, encuentra, si existen, parejas de puntos A y B de la gráfica, de modo que la recta secante tenga la pendiente indicada en cada caso. Copia en tu cuaderno una tabla como la mostrada a continuación, y recoge en ella los resultados obtenidos.

Pendiente	1'5	1	0'5	0	—0'05	—1
Punto A
Punto B

     b) Manteniendo fijo el punto A en su posición de inicio y variando Δx encuentra, si es posible, un punto B de la curva para el cual la recta secante tenga la pendiente indicada en cada caso. Dibuja en tu cuaderno otra tabla para recoger los resultados.

Pendiente	1'5	1	0'6	0'4	0	—1
Δx
Punto B

   

    ¿En cuál de los casos crees que hemos estado "más cerca" de averiguar la inclinación de la curva en el punto A?

       ¿Crees que es suficiente ese nivel de "acercamiento" para conocer la inclinación de la curva en el punto A, o por el contrario podríamos hacer algo más por determinar dicha inclinación exactamente?

       ¿Has observado algo raro?

3.-En este punto estudiaremos la "tendencia" de los diferentes conceptos que intervienen en el proceso, a medida que el incremento Δx se aproxima cada vez más a cero, es decir, Δx ─> 0

                                                                                          - la posición del punto B con respecto al punto A

                                                                                          - la posición de la recta secante con respecto a la curva

                                                                                          - el desplazamiento vertical Δy

                                                                                          - la pendiente de la recta secante

     a) Vuelve a mantener fijo el punto A en su posición de inicio y cambia Δx según los valores indicados. Anota en cada caso el valor del incremento vertical Δy así como el de la pendiente de la recta secante.

Δx	1	0'5	0'1	0'05	0'02	0'01
Δy
Pendiente

       
 Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:

        A medida que el incremento horizontal Δx se aproxima a cero . . .

             ¿Cómo varía la posición del punto B con respecto al punto A?

             ¿Cómo evoluciona la posición relativa de la recta secante AB con respecto a la curva?

             ¿Hacia qué valor parece tender el incremento vertical Δy?

             ¿Hacia qué expresión parece evolucionar el cociente incremental?

             ¿Qué concepto matemático crees más adecuado para describir estas "tendencias"?

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Definición de derivada4.- Estamos ya en condiciones de proponer una expresión que nos permita resolver nuestro problema de determinar exactamente la inclinación de una curva y = f(x) en un punto x = a. Dicha expresión es el límite del cociente incremental cuando el incremento horizontal Δx tiende a cero. Es lo que llamaremos derivada de la función f(x) en el punto de abscisa x = a. Su valor nos dará la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A(a, f(a)).

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

La siguiente escena nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva, es decir, la derivada en cada punto. Para ello basta con ir cambiando la posición del punto A, o su abscisa.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Actividades:

     a) Calcula gràficamente la derivada de la función que interviene en la escena en cada uno de los puntos indicados. Dibuja una tabla como la siguiente en tu cuaderno y recoge en ella toda la información. Para medir las longitudes │AC│ y │BC│usa la cuadrícula (cuenta cuadros) en vez de las coordenadas de los puntos. En la última columna especifica el tipo de crecimiento de la curva en el punto estudiado. Si en algún caso es necesario, cambia │AC│. Una vez calculada cada derivada comprueba tu resultado activando la casilla "Solución".

x	y = f(x)	│BC│	│AC│	f '(x)	C/D
—2
—1'5
—1
—0'5
0
0'5
1
1'5
2

     b) Conociendo el valor de la derivada de una función en un punto, ¿serías capaz, sin ver su gráfica, de asegurar si la función es creciente o decreciente en dicho punto?     c) ¿Qué relación crees que hay entre el tipo de crecimiento de una función en un punto y el valor de su derivada en dicho punto?     d) ¿Hay algún punto de la gráfica en que la derivada vale cero? (Estos puntos se llaman puntos críticos)     e) ¿Qué crees que tendrán de especial los puntos críticos de una función?

Para poder resolver velocidad media e instantánea: