Tema para los Segundo de Bachillerato "A" "B" "C"

Sistema de ecuaciones.

En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de dos o más ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones. En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Método de Gauss.

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si: Todos los coeficientes son ceros. Dos filas son iguales. Una fila es proporcional a otra. Una fila es combinación lineal de otras. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones 1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. 2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. 3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado. 4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero. 5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

Determinante.

Definición de determinante de una matriz cuadrada. Supongamos una matriz cuadrada A (puede repasar la noción de matriz) de orden:

Llamamos determinante de A, det A, al número obtenido al sumar todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los elementos de dicha matriz, de modo que en cada producto figuren un elemento de cada distinta fila y uno de cada distinta columna, a cada producto se le asigna el signo (+) si la permutación de los subíndices de filas es del mismo orden que la permutación de los subíndices de columnas, y signo (-) si son de distinto orden. El alumno puede dar un repaso de la noción de permutación, en caso de necesitarlo. Para el determinante de A, suelen emplearse indistintamente las notaciones: det A, |A|. Pasemos a ver ejemplos: Para una matriz de orden 2, su determinante se calcula: Cada producto tiene que estar formado por un elemento de la primera fila y un elemento de la segunda fila, pero al mismo tiempo tienen que ser un elemento de la primera columna y un elemento de la segunda. Sólo hay dos emparejamientos posibles, los que están arriba indicados. En cuanto al signo de cada producto, si los ordenamos siempre según el orden de las filas (12) nos debemos fijar en el orden de las columnas (los segundos índices) de cada agrupación, nosotros lo hemos indicado debajo entre corchetes. Como el primer producto representa una permutación par su signo es positivo, en cambio en el segundo es impar y es negativo. Determinante de una matriz de orden 3: Sea A una matriz de orden 3.Para expresar |A| hay que considerar todas las permutaciones de (123), son seis. De una manera mnemotécnica podemos recordar que son positivos el producto de los tres elementos de la diagonal principal, y los de los dos "triángulos" en el mismo sentido. Mientras que son negativos los productos de la otra diagonal, y sus respectivos "triángulos".

Propiedades de los determinantes 1.Para cualquier A, se verifica : A = tA 2. Si una matriz A tiene una fila o columna formada por ceros, entonces A = 0 . 3.Si a los elementos de una fila o columna de la matriz A se multiplica (o divide) por un número k, entonces su determinante queda multiplicado (o dividido) por k. 4.Si en una matriz cuadrada se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), su determinante cambia de signo. 5.Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es nulo. 6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es nulo.

Algebra Matrices

Definiciones básicas: Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A. Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij. Ejemplo: Aquí es una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para ver sus nombres: